Задачи на логику. Часть 2

Большой сборник задач на логику с ответами (вторая часть). Регулярные тренировки в решении задач на логику помогают ребенку развивать нестандартное мышление.


Сборник логических задач с ответами. Часть 2


Толщина книги


Сложность

Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина книги, если в ней 240 страниц?

Корабль


Сложность

Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек, а расстояние между ними 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Начинается прилив, при котором вода поднимается за каждый час на 15 см.

Через сколько времени покроется водой 3-я ступенька лестницы?

Вредный старик


Сложность

При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).

После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При этом, если место кого нибудь из пассажиров занято, он садится случайным образом на одно из свободных мест.

Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?

Подсказка: представьте, что последний пассажир сел на свое место. Тогда в тот момент, когда один из пассажиров занимал место последнего, он мог занять и место вредного старика.

Конструктор


Сложность

Никите подарили игру «Конструктор», в которой было 100 деталей разной длины. В инструкции к игре написано, что из любых 3 деталей можно составить треугольник.

Никита решил проверить это утверждение и стал составлять из деталей треугольники.

Детали лежат в наборе по возрастанию длины.

Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) необходимо сделать Никите, чтобы доказать или опровергнуть то, что написано в инструкции?

Подсказка: любая из деталей короче самой длинной и длиннее самой короткой, а любые 2 детали в сумме короче 2 самых длинных и длиннее 2 самых коротких.

Карточный фокус


Сложность

На одном столе лежат карты, 10 из которых лежат рубашкой вниз. Фокусник с повязкой на глазах подходит к столу, берет несколько карт и перекладывает их на другой стол, при этом, возможно, переворачивая некоторые из них.

Такую операцию разрешается повторять несколько раз (можно брать карты как с первого, так и со второго стола).

Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было одинаковое количество карт, лежащих рубашкой вниз?

Подсказка: подумайте, что будет, если переложить 1 карту, перевернув ее.

Сто сумасшедших художников


Сложность

Сто сумасшедших художников последовательно красят часть стены 100 × 100 клеток в 100 цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться 2 клеток одинакового цвета. Смогут ли 99 сумасшедших художников правильно покрасить стену, если первый художник уже покрасил «свои» 100 клеток?

Подсказка: первый сумасшедший художник покрасил клетки только в первых 2 строках.

Хоккейный матч


Сложность

Хоккейный матч между командами «Дружба» и «Мир» закончился со счетом 8 : 5.

Докажите, что в матче был такой момент, когда «Дружбе» оставалось забить столько голов, сколько «Мир» уже забил к этому времени.

Подсказка: учтите, что в начале игры счет был 0 : 0, а закончилась игра со счетом 8 : 5.

Шахматные фигуры


Сложность

Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 × 8 (в каждой клетке не более 1 фигуры) так, чтобы в любых 2 столбцах фигур было поровну, а в любых 2 строках – разное количество?

Подсказка: разделите строки по парам, в первой строке каждой пары пусть находится n фигур, а во второй – 8 n.

Торт


Сложность

Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.

На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

Подсказка: если придут 10 гостей, каждый должен получить не меньше 2 кусков, иначе торт невозможно было бы разделить поровну на 11 человек.

Рулетка


Сложность

Пьер никогда не проигрывает в рулетку больше 4 раз подряд и никогда не ставит на кон больше 20 долларов.

Каким образом он может выиграть 1000 долларов, если в случае выигрыша в рулетку возвращается удвоенная ставка и в самом начале игры у Пьера есть 100 долларов?

Подсказка: Пьер может делать ставки таким образом, чтобы выигрыш приходился на ставки, размеры которых больше предыдущих проигрышей. Для этого следует увеличить ставку после проигрыша.

Альпинист


Сложность

Альпинист стоит на горе высотой 100 м. На вершине горы дерево, на высоте 50 м (посередине горы) – еще одно дерево.

У альпиниста есть только 75 м веревки и нож. Может ли он спуститься с горы?

Подсказка: альпинисту следует разрезать веревку на 2 куска по 50 и 25 м.

Можно ли «сотку» разделить на 9?


Сложность

В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными). Оказалось, что слово «девяносто» делится на 90, а «девятка» – на 9.

Можно ли «сотку» разделить на 9?

Подсказка: воспользуйтесь признаком делимости на девять.

Клоуны


Сложность

В шеренгу выстроено n клоунов. На голову каждого надевают колпак одного из цветов: красного, желтого или зеленого. Клоун, стоящий в шеренге n-м, видит всех остальных клоунов, n 1-й клоун видит n 2 клоунов, стоящих впереди, … 2-й клоун видит только первого, первый клоун не видит никого.

Цвет своего колпака клоун определить не может. Каждого клоуна по порядку, начиная с n го, просят ответить, какого цвета у него колпак. Клоун обязан назвать один из 3 цветов.

Какое максимальное число клоунов может гарантированно угадать цвет своих колпаков? При этом клоуны перед опоросом могут договориться, но не могут заранее знать, какие колпаки на них наденут.

Подсказка: отвечая на вопрос о цвете своего колпака, клоуны могут подсказывать друг другу.

Бесконечные крестики нолики


Сложность

На бесконечной клетчатой бумаге двое играют в крестики нолики. Один игрок ставит своим ходом 2 крестика (не обязательно рядом), а другой – 1 нолик. Сможет ли играющий крестиками поставить 10 крестиков в ряд?

Подсказка: на первых этапах игры нужно стремиться ставить крестики далеко друг от друга.

Фокусники


Сложность

Два фокусника показывают зрителям интересный фокус. Одному из присутствующих они дают колоду карточек с числами от 1 до 78, чтобы он перемешал ее, отобрал любые 40 карточек и отдал их первому фокуснику. Тот выбирает из полученных карточек две и возвращает их зрителю.

Подсказка: попробуйте разбить карточки на группы.

Последний добавляет к ним одну карточку из своих 38 и, перемешав, отдает эти карточки второму фокуснику, который сразу же показывает, какая из карточек была добавлена в стопку зрителем.

Попробуйте разоблачить фокус.